関数とは

定義域と値域

さて、「変数とは」のページの最後に出した問題は解けたでしょうか？まだ考えずにこのページに来てしまった人は絶対に考えた方がいいですよ？考えれば考えるだけ、今までの知識として蓄えられた脳内の神経細胞間の結合が強固なものとなりますから。簡単に言うと「考えれば考えるだけ、脳の使い方がうまくなる」ということです。

定義域と値域

では、「定義域」と「値域」について説明します。まず関数の定義は大丈夫ですよね？「1つのx（入力）が決まったら、y（出力）の値が一意に決まるもの」でしたね。「一意に決まる」とは1つに決まってしまうという意味です。この定義をよく見ると、どちらが先に決定しているかは一目瞭然ですね。当然 xです。

つまりという関数は、まずxの値を決めるということです。普通という変数は範囲を持っていますから 1つの値xは、範囲が無限小の1点を表すと考えれば、1定数であるxもまた範囲を持っていたと考えられますね、その範囲ごとf( )に代入してあげます。そうすると、出てきた出力ももちろんそのの範囲に応じたの範囲を持ちますよね。

そうです。この関係こそが「定義域」と「値域」なのです。関数の範囲は最初にが定義します。だからの範囲が関数の範囲を定義する「定義域」となり、そのの範囲により求まった、関数の出力値の範囲が「値域」となります。

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BLACK BOXで考える

では、入力が1定数である場合と、範囲を持っている場合との違いをまずはブラックボックスを用いてイメージ化しましょう。

**図 20:** 入力の違いによる出力の違い

図20の上の図は入力が1点の場合のものです。もちろんブラックボックスは関数としての役割を果たしているものとすると、出力は1意に決定されるんでしたね。ですから出力も1点となります。

では図20の下の図のように今度は入力を範囲にしてみましょう。もちろん関数は1入力に対して1出力しか掃き出さないのですが、その1入力が限りなく連続した入力として（つまり範囲として）入力された場合、もちろん出力もその入力の各点に応じたものが範囲として出力されますよね？それが、赤い範囲としての入力に対する、青い範囲としての出力になります。

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関数のグラフで考える

これを今度は数学の分野においてグラフで説明してみましょう。図21をご覧ください。

**図 21:** のx=2を考える

において入力をとすると、それに対応するグラフ上の点は青丸で示した点であり、その出力（座標）はグラフよりもちろん1点で表されとなります。もし分からなければy=f(2) として実際にx=2 を代入してみてくださいね。

ではこのとき入力を $2\leqq x \leqq 3$ としたらどうでしょう？図22をご覧ください。

**図 22:** 入力が $2\leqq x \leqq 3$ のとき

入力範囲 $2\leqq x \leqq 3$ は軸上の赤い範囲になります。その範囲に対応するグラフ上の範囲は図中の青い枠になりますね。そこで、その青い枠に対応する出力（軸上）の範囲は $1\leqq y \leqq 4$ （軸上の赤い範囲）となります。図から自明ですし、求めるときはとを関数に代入して出てきた出力の2点間が値域といってあげればいいですね。

この場合の $2\leqq x \leqq 3$ が「定義域」で、 $1\leqq y \leqq 4$ が「値域」なのです。

もう一度言いますね。先に xが定義するから「定義域」、その定義された範囲に対応する値 yが関数から掃き出されるから、それを「値域」と定義するのです。わかって頂けたでしょうか？

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